如何理解离散傅里叶变换及Z变换

台湾新闻 2020-02-14142未知admin

  专栏前面的几篇文章主要介绍了连续系统的一些知识,今天呢我们简要说一下离散系统,主要是离散傅里叶变换、Z变换以及的一些基础知识。

  模拟一般可以在示波器里面进行观测,在很久很久以前,我们需要处理的只有模拟。但是现在不一样了,因为我们步入了新时代——数字时代,大部分都变成数字式了,典型的数字长成这个样子:

  采样是一个有规律的周期性过程,也就说,采样会引入额外的谐波分量。举个简单的例子,现在有一个余弦,频率为 8Hz,表达式为:

  那怎样才能复原原来的曲线呢?聪明的你可能已经想到了:用曲线拟合啊,假如所有的点都能在某个曲线上,那拟合出来的曲线很有可能就是被采样的曲线,这样想貌似没什么大问题。

  然而事实却很打脸,我们极有可能模拟出如下曲线来,也是一个余弦,但是频域不是原先的8Hz,也不是采样所用的20Hz,而是12Hz,模拟后的12Hz曲线如下图,这是为什么?

  如果我们工作足够细致,就会发现还可以用如下频率的曲线Hz, ... ,也就是说采样之后频谱有很多频率,如下图:

  在专栏“如何理解不确定性原理——不确定or测不准”那篇文章中,我们已经认识了什么是狄拉克函数,具体参见如下链接:

  由于是周期函数,我们可以按照周期函数的傅里叶级数求其频谱,其傅里叶级数的系数为:

  在本专栏前面的文章中,我们介绍了什么是傅里叶变换,已经忘记傅里叶变换是怎么回事的童鞋可复习一下这篇文章:

  我们目前处于一个数字化的世界,如果一个的频谱是连续的(DTFT),那么我们仍然没法在机器中处理,那怎么办呢?——频率也要离散化才行,所需要的技术就是离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform),即具有周期特性离散的傅里叶级数(就是将无限长的离散限进行截短至N个采样点,然后将这个N个采样点进行周期延拓 ),DFT即IDFT表达式如下:

  即1/N可以放在DFT或者IDFT里面,两者完全等价的,本文采用前面的表达方式。一般的教材,都是直接给出DFT计算公式,对DFT与DTFT以及傅里叶变和傅里叶级数的关系并没有明确,导致很多童鞋不明觉厉,总觉得心里不是很踏实。

  我们计算了离散周期得频谱,即不同频率分量下对应的系数,下面将得出一个重要的结论,很是很多童鞋的一点,那就是离散傅里叶变换只有离散的数值,那频率去哪了?

  说到周期离散的傅里叶变换DFT(discrete Fourier transform),就不得不提FFT(st Fourier transform ),即快速傅里叶变换,毕竟FFT在工程中更常见,那它们有什么关系呢?——这俩货其实呢是一回事,FFT本质也是DFT,只不过是利用DFT内部蕴藏的规律的一种简化算法罢了。

  这看起来太复杂了,既不符合工程师的调性,也不符合数学家的调性。我们要简洁,简洁,简洁!如果我们令

  如果大家记性好的话,肯定还记得我们在推导Z变换的过程中借鉴了拉普拉斯变换的很多处理方式,那它们之间是不是有某种联系呢?

  好了,能到这的童鞋都是好奇宝宝——在等我们第一部分问题的答案呢!到底频率的分量是哪来的?

  我们知道,两个在时域相乘,在频域相当于卷积;在时域卷积,在频响相当于相乘,这就是卷积,具体参见文章

  在本文的第二部分中,我们又介绍了,狄拉克梳状函数无论在时域还是在频域,其形貌都是一系列的脉冲,那问题就转变成了:一个的频谱函数和狄拉克梳状函数卷积,结果是什么?——频谱函数被周期延拓了,而且延拓的周期就是采样频率!

  我们用一个20Hz的狄拉克梳状函数(采样函数)对余弦进行抽样,采样函数为:

  可见,抽样的频谱也呈现冲击的样貌,频谱中两个冲击串的间隔就是采样频率。

  可见,采样后的的频谱被周期延拓了,延拓的周期就是20Hz,也就是采样频率。

  到这里,对数字的童鞋可能已经猜到采样后的12Hz是哪来的了—— -8Hz平移一个采样周期(20Hz)得来的。进而可以得到:28Hz是8Hz平移一个采样周期来的,32Hz是-8Hz平移两个采样周期来的,48Hz是8Hz平移两个采样周期来的,....

  通过以上的,我们得到了如下结论:对一个连续的采样,采样后的频谱相当于将采样前的频谱进行了延拓,延拓的周期就是采样频率。

  也就是说,原始频谱经过周期延拓后会有一部分重叠,这样在重叠的部分就会有信息的丢失,也就无法进行复原了,也就是说,对于连续的进行抽样离散的话,必须采样频率是原连续最大频率分量的2倍频率以上,否则就难以复原。这就是采样,又叫奈奎斯特采样或香农采样。

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